不定方程的理论和方法在各学科解题中起着重要作用．所谓不定方程(或不定方程组)是指未知数的个数多于方程的个数,而求解仅仅是在整数范围内进行的．数学家丢番图在其著作《算术》中系统地研究了大量特殊的不定方程,使不定方程得到了发展,不定方程对后来数学的发展起到了重大的推动作用．不定方程不仅在数学领域具有十分重要的地位,而且其理论和方法在计算机科学、信息科学、物理学、化学、生物学等众多学科中起着重要作用．同时,在高中数学《选修4》“初等数论初步”模块中有不定方程专题课程的内容．不定方程可以培养学生数学思维能力,提高数学建模能力以及数学逻辑思维能力．在数学创新思维能力方面也起到了很大的作用,能激发学生的学习兴趣,有助于学生深入理解其他知识．由于不定方程中一些数学思想、方法具有超出数学本身的意义,因此,关于不定方程的解法以及方法应用,大量出现在高中教学中．

本文例谈不定方程在解题中的应用,旨在起到抛砖引玉的作用．

1 不定方程在数学教学中的应用

不定方程作为数论中较早研究的问题之一,在初等数学中应用较为广泛,然而高中阶段并没有将不定方程列入普通高中必修课程教材中去,高考的考纲也没有将不定方程列为高考的考点．因此,在讲授不定方程时,不能单独讲授不定方程,这样学生会觉得不定方程很空洞,并且没有实际意义．教师要讲解不定方程与其他高中知识交会的综合问题,例如高考常考查的数列中时常需要利用不定方程求解正整数解,巧妙使用不定方程解决排列、组合中的隔板法问题,当然也有不定方程与三角函数、不等式、立体几何等高中知识相结合的问题．抓住高考热点、自主招生热点、数学竞赛热点而进行不定方程的教学．不再让学生觉得不定方程在高中学习阶段没有实际应用,同时让学生体会到不定方程神奇的魅力．

1.1 不定方程在数学高考中的应用

例1 设{an}是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,满足

(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;

(2)试求所有的正整数m,使得为数列{an}中的项．

解析

(1){an}的通项公式为an＝2n－7,前n项和Sn＝n2－6n(求解过程略)．(2)由(1)可知an＝2n－7,所以

设2m－3＝t,则t为奇数,所以所以t为8的约数．因为t为奇数,所以t可取的值为±1．当t＝1,m＝2时,是数列{an}中的项;当t＝－1,m＝1时－15,数列{an}中的最小项是－5,不符合题意．

综上,满足条件的正整数m＝2．

点评

数列是高中数学的重要内容,在高考中占有极其重要的地位．本题中利用分离变量法作为切入点,巧妙地解决了第(2)问．各地区高考模拟卷中经常出现数列中不定方程的整数解问题,此类问题逐渐成为一个新的热点,文章对此类问题进行探讨,以期给学生的学习带来帮助．

1.2 不定方程在数学竞赛中的应用

数学竞赛是选拔数学人才的有效手段之一．不定方程和数学竞赛有着紧密的联系,不定方程是近年来各级各类数学竞赛的热点问题．数学竞赛中不定方程的整数解问题,经常涉及方程式子恒等变形的相关知识(分离变量、因式分解、配方法、变量代换等)．

例2 方程的 整 数 解 共 有( )组．

A．1 B．2

C．3 D．4

解析

由,知．因为x,y∈Z,x＋1＝±1或±2,故(x,y)＝(－2,－1),(0,3),(1,2),(－3,0)．因此,方程共有4组整数解．故选D．

点评

解法中的分离变量是代数变形的常见方法,考查学生分离变量的能力,利用整除性得到整数解．考虑到平时学习和考试中对学生式子变形能力的要求较高,选择开设不定方程的基本解法课,旨在培养学生利用式子恒等变形,探寻不定方程的基本解法．不定方程的基本解法灵活性较大,技巧性较强．在竞赛授课过程中认识到要将竞赛教学与不定方程基本解法的教学内容相结合,通过不定方程教学激发学生对数学的兴趣,培养学生的数学思维．

1.3 不定方程在强基计划校考中的应用

广大师生对高校强基计划校考越来越重视,一线数学教师对往年自主招生试题的研究特别青睐．不定方程在高考中没有特别要求,但不定方程之前经常出现在大学自主招生考试试题中,是强基计划校考的热点之一．经查阅许多高校以往的自主招生考试中有关不定方程试题经常出现,特别是一类与不等式估计的问题．