经历了数千年发展，数学这门古老的学科在近一百多年开拓出了众多分支，并产生了多个应用学科。而一般人所学的往往是200多年前的数学。面对近代数学，若非精通数理者，恍如坠入“数学的深渊”。今天的二条文章用一张生动有趣的长图，将深奥的数学深渊化作一部星汉灿烂的数学史。

事实上，数学的发展常常得益于物理学提出的问题，而物理学的每一次重大革命，则往往伴随着新数学的引入。《返朴》总编文小刚特为此撰文，回顾历史上几次物理学革命，从数学的眼光看待物理学，并阐述凝聚态物理中的近代数学。在他看来，范畴学、代数拓扑等近代数学理论在物理学中的应用意味着，物理学正在进行一场新的革命。

撰文 |文小刚（麻省理工学院终身教授、格林讲席教授）

今天的二条文章介绍了1900年前的数学发展史。过去100年来，数学有了很大的发展，除了像微分方程和微分几何这些与经典物理本身有深刻关系的数学以外，还发展出了代数拓扑、代数几何、代数数论、范畴学、几何表示论等极度抽象的数学。之前《返朴》介绍数学的文章《如何理解数学？从纠正对数学的偏见开始——得数学者得天下》强调，近代数学不是一个仅仅关于“数”的学问。以范畴学为代表的近代数学，更是一门关于关系和结构的抽象学问。有趣的是，近年来，这些看似和现实毫无关系的数学理论，特别是代数拓扑、代数几何和范畴学已经开始和现代物理深度碰撞。

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物理学革命与数学的引入

历史上物理和数学有着十分深刻的联系。物理的目的之一是了解新的自然现象。而一个新的自然现象之所以新的标志，就是我们连描写它的名字及数学符号都没有。这就是为什么当物理学家有一个真正的新发现时，他/她什么都说不出来，什么都写不出来，也无法进行计算推导。这时候就需要引入新的数学语言来描写新的自然现象。这就是数学和物理之间的深刻联系。正因为如此，每一次物理学的重大革命，其标志都是有新的数学被引入到物理学中来。

第一次物理革命是力学革命，需要研究的物理现象是天体的的运动。牛顿不仅要发明他的万有引力理论，而且还要发明微积分这一套新的数学来描写他的理论。第二次物理革命是电磁革命。麦克斯韦发现了一种新的物质形态——场形态物质。这就是电磁波，也是光波。后来人们发现，这种场形态物质需要用数学的纤维丛理论来描写。第三次物理革命是广义相对论。爱因斯坦发现了第二种场形态物质——引力波。他需要引入数学中的黎曼几何来描写这种新物质。第四次物理革命是量子革命。这次革命揭示出，我们世界中的真实存在，既不是粒子也不是波，但既是粒子又是波。这种莫名其妙却又真实的存在，可以用量子力学来解释，而量子力学则是建立在数学中的线性代数理论之上。

牛顿、麦克斯韦、黎曼、爱因斯坦

我们现在正在经历一场新的物理革命——第二次量子革命。这次革命的主角是量子信息和它们的量子纠缠。这次我们所遇到的新现象，就是很多很多量子比特的纠缠。这种多体量子纠缠的内部结构，正是我们既说不出来，又没有名字的新现象。我们现在正在发展一套新的数学理论（某种形式的范畴学），来试图描写这种新现象。

这次正在进行中的物理学新革命是非常深刻的。因为这次革命试图用纠缠的量子信息来统一所有的物质、所有的基本粒子、所有的相互作用，甚至时空本身。而凝聚态物理中的拓扑序、拓扑物态，以及量子计算中的拓扑量子计算，都是多体量子纠缠的应用。正是通过这些物理研究，我们发现了多体量子纠缠的重要性，并引入了长程量子纠缠这一相关概念。

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用数学的眼光看物理学

我们刚才用物理的眼光，概括了数学和物理的关系。自牛顿以来，我们都是用分析的眼光看世界，用连续流形、连续场来描写物理现象。特别是爱因斯坦的广义相对论，它是如此的漂亮自然，大家都认为它抓住了宇宙的本质。之后，以几何的眼光看世界成为物理的主流。在这个思路下，物理学家发展了规范场论、量子场论，以及描写所有基本粒子的标准模型。

但完美主流的几何的眼光，并不一定是认识世界的正确方法。从量子革命以来，我们越来越意识到，我们的世界不是连续的，而是离散的。我们应该用代数的眼光看世界。连续的分析，仅仅是离散的代数的一个幻象。就像连续的流体，是许许多多一个个分子集体运动的幻象。这种以代数的眼光看世界的新思想，将颠覆很多目前的主流物理理论，带来物理的第二次量子革命（见《光的奥秘和空间的本源｜众妙之门》）。某种意义上，建立在几何思路之上的广义相对论、规范场论、量子场论太漂亮太完美了，让我们误以为它抓住了宇宙的本质，误导了我们一百多年。